[논문 리뷰] Observer-based robust MPC for trajectory tracking of autonomous vehicles with dynamic envelopes

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저자 : Guoshun Cai, Guodong Yin, Jinxiang Wang, Jiwei Feng, Shuo Bai, Jingyu Hu 소속 : Southeast University, Liaocheng University 게재지 : Control Engineering Practice , Vol. 172, 106893, 2026 DOI : 10.1016/j.conengprac.2026.106893 Abstract 요약 자율주행차의 궤적 추종에서는 종방향 속도와 타이어 코너링 강성이 계속 변하고, 외란과 상태 추정 오차까지 동시에 존재함. 이 논문은 이러한 불확실성을 다면체 LPV 모델로 표현하고, quadratic boundedness 기반 관측기로 추정 오차의 크기를 매 순간 갱신하며, 그 오차경계를 min-max 강건 MPC에 직접 포함하는 방법을 제안함. 여기에 횡슬립각–요레이트 위상평면 제약과 제어 장벽 함수(CBF) 기반 추종 안전영역을 함께 넣어 안정성과 안전성을 동시에 다룸. 계산량이 큰 LMI는 오프라인에서 풀고 온라인에서는 현재 스케줄링 변수에 맞춰 보간함으로써 0.01 s 샘플링 조건을 만족함. HIL과 실차 시험에서 기존 LMI 기반 preview 제어기와 tube MPC보다 추종 정확도와 차량 안정성이 개선됨을 확인함. 이 논문의 질문은 단순히 “경로를 잘 따라갈 수 있는가”가 아님. 실제 차량에서 직접 측정하기 어려운 상태가 있고, 모델이 계속 변하며, 안전영역을 넘지 않으면서도 실시간 계산이 가능해야 한다는 네 가지 요구를 하나의 제어 구조에서 만족할 수 있는지가 핵심임. 논문의 해법은 관측기가 불확실성을 숫자로 경계 짓고, 강건 MPC가 그 경계의 최악 조건을 대비하며, 위상평면과 CBF가 각각 차량 동역학 안정성과 추종 안전성을 제한하는 역할 분담임. 1. Introduction 기존 궤적 추종 제어는 모델 불확실성, 외란, 상태 추정 오차를 따로 다루는 경우가 많음. 그러나 실제 차량에서는 이 세 요소가 동시에 작용하므로 하나만 무시해도 이론적으로 얻은 안정성 보장이 약해질 수 있음. 일반적인 상태 관측기는 추정값만 제공하지만, 강건 MPC에는 “추정 오차가 최대 어느 범위에 있는가”도 필요함. 이 논문은 quadratic boundedness를 사용하여 관측 오차의 타원체 경계를 계산하고 온라인에서 줄여 나감. 차량 안정성은 횡슬립각과 요레이트가 만드는 위상평면의 안정영역으로, 추종 안전성은 횡방향 오차와 헤딩 오차가 만드는 CBF 안전집합으로 표현함. 두 제약을 MPC 상태 제약으로 합치는 것이 제안 구조의 특징임. 주요 기여는 시변 타이어 강성과 속도를 반영한 다면체 LPV 모델, 온라인 오차경계 갱신 관측기, 오차를 포함한 min-max 강건 MPC, CBF와 위상평면의 통합, 오프라인·온라인 분리를 통한 실시간 구현으로 정리됨. 2. System modeling 2.1 Vehicle dynamics model 차량 횡방향 운동은 횡슬립각 $\beta$와 요레이트 $\gamma$를 중심으로 한 2자유도 모델로 표현됨. $$ M v_x(\dot{\beta}+\gamma)=F_{yf}\cos\delta_f+F_{yr} \tag{1} $$ $$ I_z\dot{\gamma}=l_fF_{yf}\cos\delta_f-l_rF_{yr}+\Delta M_z \tag{1b} $$ $M$은 차량 질량, $v_x$는 종방향 속도, $I_z$는 요 관성모멘트, $F_{yf},F_{yr}$은 전·후륜 횡력, $\delta_f$는 전륜 조향각, $\Delta M_z$는 추가 요 모멘트임. 타이어 횡력은 Magic Formula로 계산한 뒤 작동점 주변에서 등가 코너링 강성으로 나타냄. $K_f=\varepsilon_fC_f$, $K_r=\varepsilon_rC_r$로 두면 $\varepsilon_f,\varepsilon_r$가 노면과 비선형 타이어 효과를 담는 불확실성 계수가 됨. preview point의 횡방향 오차 $e_y$와 헤딩 오차 $e_\varphi$를 차량 상태에 포함함. 이 선택은 단순한 차량 안정화가 아니라 미래 경로를 미리 보며 추종하는 제어 문제로 바꾸기 위함임. $$ x=\begin{bmatrix}e_y&e_\varphi&\beta&\gamma\end{bmatrix}^{T},\quad u=\begin{bmatrix}\delta_f&\Delta M_z\end{bmatrix}^{T},\quad d=\rho_r \tag{6} $$ $d=\rho_r$는 기준 경로 곡률이며, 제어 출력은 $z=Cx+Hd$로 정의됨. 2.2 LPV system $v_x$, $\varepsilon_f$, $\varepsilon_r$가 변하면 시스템 행렬도 변함. 이를 하나의 고정 모델로 근사하는 대신 스케줄링 변수 $\sigma_1\sim\sigma_7$의 affine 결합으로 표현함. $$ A(\sigma)=A_0+\sum_{i=1}^{7}\sigma_iA_i,\qquad B(\sigma)=B_0+\sigma_1B_1+\sigma_5B_5 \tag{7} $$ 이론적으로 모든 변수의 최솟값과 최댓값을 조합하면 128개 꼭짓점이 필요하지만, 변수 사이의 종속성을 이용해 네 개의 집계 꼭짓점으로 축소함. 이는 이후 LMI의 개수를 크게 줄이는 핵심 계산 기법임. 이산화한 다면체 모델은 다음과 같이 네 꼭짓점의 볼록결합으로 표현됨. $$ x(k+1)=E(\eta)x(k)+F(\eta)u(k)+G(\eta)d(k),\qquad \sum_{q=1}^{4}\eta_q(k)=1 \tag{10} $$ $\eta_q(k)$는 현재 속도와 타이어 상태에 따른 꼭짓점 가중치임. 따라서 비선형 차량을 매 시점 하나의 LPV 선형모델로 갱신할 수 있음. 이 단계의 목적은 비선형 차량을 완전히 선형화해 버리는 것이 아니라, 가능한 모델 변화 전체를 네 꼭짓점의 볼록껍질 안에 가두는 것임. 이후 모든 꼭짓점에서 LMI가 성립하면 그 사이의 모든 모델에서도 조건이 성립한다는 논리임. 3. Observer-based robust MPC design 3.1 Off-line observer design 직접 측정하기 어려운 상태를 얻기 위해 LPV 관측기를 구성함. $$ \hat{x}(k+1)=E(\eta)\hat{x}(k)+F(\eta)u(k)+L(\eta)\left[z(k)-C\hat{x}(k)\right] \tag{12} $$ 관측 오차 $x_o=x-\hat{x}$에 대해 $V_o=x_o^TP_ox_o$를 정의하고, 외란 에너지보다 오차 에너지가 큰 영역에서는 $V_o$가 감소하도록 요구함. 이 조건이 quadratic boundedness임. $$ V_o(k)\geq \lVert d(k)\rVert_{Q_w}^{2} \Rightarrow V_o(k+1)-V_o(k)<0 \tag{14} $$ Theorem 1은 이 조건을 S-procedure와 Schur complement로 LMI화함. 네 LPV 꼭짓점에서 LMI를 풀어 $P_o$와 $L_q=P_o^{-1}R_q$를 오프라인에서 구함. 여기서 관측기는 오차를 정확히 0으로 만든다고 주장하지 않음. 외란이 존재해도 오차가 알려진 타원체 안에 머무는 것을 보장하는 구조임. 3.2 On-line refreshment of EES 고정된 큰 오차경계를 계속 사용하면 MPC가 지나치게 보수적이 됨. 논문은 현재 관측 오차 타원체의 크기 $\varsigma(k)$를 매 순간 최소화하여 estimation error set(EES)을 갱신함. $$ V_o(k+1)\leq 1+(1-\theta)\left[V_o(k)-1\right] \tag{20} $$ $0<\theta<1$이면 큰 초기 경계가 외란이 정한 정상상태 경계 1을 향해 수축함. Theorem 2의 LMI는 다음 시점의 최소 $\varsigma(k+1)$를 계산함. Algorithm 1은 관측기 이득은 오프라인에서 구하고, 상태 추정과 EES 크기만 온라인에서 갱신하는 절차임. 3.3 Optimization problem formulation 제어입력은 현재 LPV 가중치에 따른 상태 피드백으로 놓음. $$ u(c|k)=N(\eta)\hat{x}(c|k) \tag{24} $$ 추정 상태와 관측 오차를 결합한 확장 상태 $\xi=[\hat{x}^T,x_o^T]^T$를 사용함. 이렇게 해야 MPC가 추정값만 믿는 대신 관측 오차가 만들 수 있는 최악의 상태까지 함께 예측할 수 있음. 목적함수는 모든 허용 외란에 대한 무한시간 성능비용의 최댓값을 최소화하는 min-max 문제임. 동시에 종단집합, Lyapunov 감소, 입력 한계, 상태 한계를 만족해야 함. $$ \min_{N(\eta)}\max_{d}\sum_{c=0}^{\infty} \left(\lVert z(c|k)\rVert_T^2+\lVert u(c|k)\rVert_U^2\right) \tag{26} $$ 3.4 Robust MPC design Theorem 3은 위 min-max 문제를 LMI 최적화로 바꾸고 성능 상계 $\Upsilon(k)$를 최소화함. LMI에는 관측 오차 경계, 외란 경계, 입력 제약, 상태 제약이 동시에 들어감. 중요한 점은 제어기와 관측기를 분리 설계하더라도 MPC가 관측 오차를 명시적으로 고려한다는 점임. 따라서 추정값과 실제값의 차이가 허용 타원체 안에 있는 한 제약 만족과 안정성 논리를 유지할 수 있음. 3.5 On-line and off-line solution 모든 LMI를 매 샘플 온라인에서 풀면 계산량이 너무 큼. 논문은 가능한 스케줄링 영역에서 제어이득과 Lyapunov 행렬을 오프라인 계산하고, 온라인에서는 현재 $\eta_q$에 따라 보간함. Algorithm 1은 완전 온라인 방식이고, Algorithm 2는 오프라인·온라인 분리 방식임. 두 방식의 성능은 유지하면서 Algorithm 2가 실시간 구현을 담당함. 이 논문의 실용적 핵심은 강건 MPC 공식을 제시한 것만이 아니라, 계산의 대부분을 오프라인으로 이동시켜 10 ms 제어주기 안에 들어오도록 설계한 것임. 4. Stability and dynamic envelopes 4.1 Closed-loop system stability 명목계에서 Lyapunov 함수가 매 스텝 감소하면 폐루프 안정성이 보장됨. $$ V(k+1)-V(k)\leq-\lVert z(k)\rVert_T^2-\lVert u(k)\rVert_U^2<0 \tag{47} $$ 또한 무한시간 비용은 최적화로 얻은 상계 $\Upsilon(k)$보다 작음. 따라서 $\Upsilon$는 단순한 튜닝 숫자가 아니라 추종 성능과 안정성의 인증값 역할을 함. 4.2 Phase-plane 4.2.1 Phase-plane 차량 횡방향 안정성은 $\beta$–$\gamma$ 위상평면에서 정의한 평행사변형 영역으로 제한함. $$ -\Psi_1\leq \aleph_1\beta+\varphi_1\gamma\leq\Psi_1,\qquad -\Psi_2\leq \aleph_2\beta+\varphi_2\gamma\leq\Psi_2 \tag{50} $$ 이 경계는 타이어가 포화되는 불안정 영역으로 상태가 진입하지 못하도록 하는 동역학적 안전봉투임. 4.2.2 Transformation to state constraint form 위상평면 부등식은 MPC에 넣을 수 있도록 선형 상태 제약으로 변환됨. $$ \Phi_{\mathrm{PPB}}x(k)\leq\chi_{\max}^{\mathrm{PPB}} \tag{53} $$ 상태벡터의 세 번째와 네 번째 성분이 각각 $\beta$와 $\gamma$이므로 해당 열에 위상평면 계수를 배치하면 됨. 4.3 CBF-based dynamic safety envelope 4.3.1 Safety set and CBF 위상평면이 차량의 동역학 안정성을 제한한다면, CBF는 추종 오차가 허용 범위를 벗어나지 않도록 제한함. 안전집합은 $e_y$와 $e_\varphi$의 타원으로 정의됨. $$ h_s(x)=1-\frac{e_y^2}{e_{ym}^2}-\frac{e_\varphi^2}{e_{\varphi m}^2} \tag{54} $$ $h_s>0$이면 안전영역 내부, $h_s=0$이면 경계, $h_s<0$이면 안전영역 밖임. 4.3.2 Discrete-Time CBF condition 이산시간에서 안전집합의 전방 불변성을 위한 조건은 다음과 같음. $$ h_s(k+1)\geq(1-b_rT_s)h_s(k) \tag{57} $$ 모델 오차나 갑작스러운 외란 때문에 최적화가 불가능해지는 상황을 막기 위해 slack $b_s\geq0$를 추가함. $$ h_s(k+1)\geq(1-b_rT_s)\left[h_s(k)-b_s\right] \tag{58} $$ $b_r$는 안전영역 내부로 복귀시키는 속도, $b_s$는 순간적인 완화 여유를 결정함. 완화는 안전을 제거하는 것이 아니라 최적화의 실행 가능성을 유지하면서 다시 엄격한 집합으로 복귀시키기 위한 장치임. 4.3.3 Dynamic safety envelope definition 시점 $k$의 동적 안전봉투는 $\mathcal{E}(k)={x:h_s(x(k))\geq0}$로 정의됨. 현재 추종 오차와 $b_r,b_s$에 따라 다음 시점의 허용 경계가 달라지므로 고정된 오차 제한이 아니라 상태 의존적 안전봉투가 됨. 4.3.4 Linearized CBF integration into robust MPC 타원형 CBF 제약은 결합 비선형 제약임. 논문은 이를 MPC의 선형 부등식으로 넣기 위해 각 오차를 독립적으로 제한하는 보수적 근사를 사용함. $$ e_{ym}^{\mathrm{eff}}(k)=e_{ym}\sqrt{R(k)},\qquad e_{\varphi m}^{\mathrm{eff}}(k)=e_{\varphi m}\sqrt{R(k)} \tag{60} $$ $$ \Phi_{\mathrm{CBF}}x(k)\leq\chi_{\max}^{\mathrm{CBF}}(k) \tag{61} $$ 이 근사는 원래 타원보다 엄격할 수 있지만, 선형 LMI 기반 MPC 안에서 안전조건을 직접 계산할 수 있다는 장점이 있음. 4.4 Integrated constraint formulation 최종 상태 제약은 CBF 추종 안전영역과 위상평면 동역학 안정영역을 수직으로 결합함. $$ \Phi_{\mathrm{total}}x(k)\leq\chi_{\max}^{\mathrm{total}}(k),\qquad \Phi_{\mathrm{total}}=\begin{bmatrix}\Phi_{\mathrm{CBF}}\\Phi_{\mathrm{PPB}}\end{bmatrix} \tag{62} $$ 조향각과 추가 요 모멘트도 각각 $|\delta_f|\leq\bar{\delta}_f$, $|\Delta M_z|\leq\Delta\bar{M}_z$로 제한됨. 4.5 Torque allocation design 상위 제어기가 요구한 $\Delta M_z$를 네 인휠모터의 종력으로 배분함. 목적함수는 전체 타이어 마찰 사용률과 네 바퀴 사이 사용률 편차를 함께 최소화함. $$ \min J=\sum_{\tau=1}^{4}\zeta_\tau+\phi\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{\tau=1}^{4}\left(\zeta_\tau-\frac{1}{4}\sum_{j=1}^{4}\zeta_j\right)^2} \tag{64} $$ $\zeta_\tau=(F_{x\tau}^2+F_{y\tau}^2)/(\mu F_{z\tau})^2$는 각 바퀴의 마찰 사용률임. 요 모멘트 등식과 모터 토크·마찰원 제약을 만족하는 quadratic programming 문제로 계산됨. 5. Test and analysis 5.1 HIL experiment dSPACE MicroAutoBox에서 제어기를 실행하고 NI PXI의 CarSim 차량모델과 연결한 HIL 환경을 사용함. 샘플링 시간은 0.01 s이며, 마찰계수 $\mu=0.8$, 속도는 10–15 m/s로 변화하는 double lane change 조건임. 비교 대상은 LMI 기반 preview 제어기(LMI-P), 오프라인 tube MPC(TMPC), 제안한 RMPC-P임. 추종 오차 한계는 $e_{ym}=0.2$ m와 $e_{\varphi m}=0.03$ rad임. EES는 약 1 s 안에 $\varsigma(k)=1$로 수렴하고, 성능 상계는 평균 4.63%의 비율로 감소하여 0.5 s 안에 $\Upsilon(k)=48.57$에 도달함. 초기 구간에서 CarSim과 예측모델의 mismatch로 추정 편차와 일부 반대 방향 추세가 나타남. 저자들은 이를 숨기지 않고 관측기 재튜닝, 모델 정밀도 향상, 적응 보상의 필요성을 한계로 제시함. 외란은 실험 전체에서 $\lVert d(k)\rVert_{Q_w}^2\leq1$을 만족함. RMPC-P의 위상평면 궤적이 원점에 가장 가깝고, TMPC와 LMI-P 순으로 큰 범위를 보임. RMPC-P는 세 제어기 중 횡방향·헤딩 오차가 가장 작고 $0.2$ m 안전경계 안에 머묾. 안전 제약을 별도 후처리가 아니라 MPC 내부에 넣었으므로 입력을 갑자기 수정하지 않고 최적화 단계에서 안전한 입력을 생성함. 평균 계산시간은 LMI-P 0.0001 s, TMPC 0.0089 s, Algorithm 2 0.0076 s, 완전 온라인 Algorithm 1 0.1251 s임. Algorithm 1은 0.01 s 제어주기를 넘지만, 오프라인·온라인 분리 방식인 Algorithm 2는 실시간 조건을 만족함. 5.2 Real vehicle test 네 개의 인휠모터와 EPS를 갖춘 ADDEV 시험차에 GPS/INS, IMU, VCU, ROS 기반 mini PC를 탑재함. 평탄하고 건조한 아스팔트에서 DLC 시험을 수행함. 세 제어기 모두 주행을 완료했으나 RMPC-P가 가장 작은 횡방향·헤딩 오차를 보였고, CBF에 의해 횡방향 오차가 안전경계 안에 제한됨. RMPC-P의 $\beta$–$\gamma$ 궤적이 원점에 더 가깝고 조향각과 추가 요 모멘트도 더 작아, 추종 정확도 향상이 과도한 제어입력의 결과만은 아님을 보여 줌. 5.3 Quantitative performance analysis HIL에서 RMPC-P의 RMS 값은 $e_y=0.0684$ m, $e_\varphi=0.0082$ rad, $\beta=0.0025$ rad, $\gamma=0.0529$ rad/s임. 실차에서는 각각 0.0737 m, 0.0083 rad, 0.0143 rad, 0.0624 rad/s임. 실차 기준으로 RMPC-P는 두 비교기보다 RMS 횡방향 오차를 최소 17.19%, RMS 횡슬립각을 최소 4.67%, RMS 요레이트를 최소 8.77% 줄였음. 다섯 번의 독립 HIL 반복시험에서 RMS 횡방향 오차는 $0.0686\pm7.0103\times10^{-4}$ m, RMS 헤딩 오차는 $0.0082\pm5.7890\times10^{-5}$ rad의 95% 신뢰구간을 보임. 반복시험의 좁은 신뢰구간은 동일한 HIL 조건에서 결과의 재현성이 높다는 증거임. 다만 이는 다양한 노면·고속 조건 전체에 대한 일반화 증거는 아니며, 논문도 고속 실차시험을 향후 과제로 남김. 6. Conclusion 제안 구조는 관측 오차를 경계 짓는 관측기, 그 최악값을 고려하는 강건 MPC, 동역학 안정성을 제한하는 위상평면, 추종 안전성을 제한하는 CBF를 하나의 LMI 기반 제어기에 통합함. 논문이 보고한 핵심 성과는 성능 상계의 샘플당 평균 4.63% 감소, 횡방향 오차의 0.2 m 안전경계 유지, LMI-P 대비 최대 요레이트 20.95% 감소와 최대 횡슬립각 29.67% 감소, 평균 온라인 계산시간 0.0076 s임. 이 결과는 단순 추종 정확도 향상보다 “추정 오차와 모델 불확실성이 있어도 안전·안정 제약을 함께 보장하면서 실시간 실행이 가능한가”라는 질문에 대한 실험적 답변임. 7. Future work 현재 실차 시험장은 안전상의 이유로 저속 시험만 허용함. 따라서 고속·고동특성 조건에서 제안한 안전봉투와 관측 오차 보장이 유지되는지는 아직 검증되지 않음. 고속 전용 시험장에서 공격적인 주행 조건을 검증하는 것이 후속 과제로 제시됨. Appendix A LPV 모델의 $A_0\sim A_7$, $B_0,B_1,B_5,D_7$ 기저행렬을 제시함. 본문의 식 (7)이 스케줄링 변수와 고정행렬의 affine 결합으