관절을 세는 것만으로는 부족했다: 자유도와 2R 로봇의 C-space

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Modern Robotics 2.2와 2.3.1을 공부했다. 이번에는 공식을 계산하는 것보다, 계산한 숫자가 무엇을 뜻하는지 이해하는 데 시간이 걸렸다. Stewart platform에서 막힌 부분 Stewart platform은 아래판과 위판을 길이 조절이 가능한 다리 여섯 개로 연결한 기구다. 처음 설명을 읽고도 구조가 잘 잡히지 않아 다시 설명을 요청했다. 두 번째 설명을 듣고도 절반 정도 이해했다는 느낌이었다. 공식 강의의 모델에서는 다리 하나가 두 링크와 U·P·S 관절로 이루어진다. U는 universal joint, P는 prismatic joint, S는 spherical joint다. 각각 허용하는 상대 운동의 자유도는 2, 1, 3이다. Grübler 공식은 다음과 같다. $$ \mathrm{DOF}=m(N-1-J)+\sum_{i=1}^{J} f_i $$ N에는 고정된 바닥 링크도 포함한다. 이 모델에서는 N=14, J=18, 관절 자유도의 합은 36이고, 공간 기구이므로 m=6이다. $$ 6(14-1-18)+36=6 $$ 여기서 36은 전체 기구의 독립적인 운동 개수가 아니다. 여섯 다리가 같은 위판에 연결되어 있으므로 각 관절을 따로 움직이는 것처럼 생각하면 안 된다. 조립된 기구에서 남는 자유도는 6이다. 단, 이 공식은 관절의 구속조건이 독립이라는 가정이 필요하다. 모든 기구에 숫자만 대입하면 되는 공식은 아니다. 2R 로봇의 공간이 왜 도넛일까 이어서 배운 C-space는 로봇이 가질 수 있는 모든 configuration의 공간이다. 자유도는 이 공간의 차원이다. 회전 제한이 없는 이상적인 2R 로봇은 두 관절각으로 자세를 나타낸다. 각 각도는 한 바퀴 돌면 같은 자세로 돌아오므로 원 S1에 해당한다. 따라서 C-space는 S1×S1, 즉 torus의 표면이다. 처음에는 원기둥 두 개를 밑면끼리 붙이는 것인지 물었다. 정확한 설명은 정사각형의 양쪽 변을 같은 상태로 연결하면 원기둥이 되고, 남은 두 끝의 원 둘레도 연결하면 torus가 된다는 것이었다. 이 도넛은 실제 로봇팔의 모양이 아니다. 관절각 조합 하나가 도넛 표면의 점 하나에 대응한다. 359도에서 0도로 넘어갈 때 숫자는 크게 바뀌어 보이지만 실제 회전은 이어진다. 관절 제한이나 충돌을 고려하면 가능한 공간은 이 이상적인 모델과 달라질 수 있다. 아직 공간의 모양을 직관적으로 떠올리는 연습이 필요하다. 다음에는 C-space의 좌표 표현을 공부할 예정이다. 참고 자료 Modern Robotics 2.2 공식 강의 Modern Robotics 2.3.1 공식 강의

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