선형대수학

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선형변환 T: Rn → Rm에서 정의역은 입력이 속한 Rn, 공역은 출력이 속할 수 있는 Rm 전체이다 치역은 T를 통해 실제로 나오는 출력 벡터의 집합이며, 항상 공역의 부분집합이다 전사와 일대일은 치역이 공역을 얼마나 채우는지, 입력과 출력이 어떻게 대응되는지를 구분하는 개념이다 1. Onto(전사) Onto(전사)란 공역의 모든 벡터 b가 적어도 하나의 입력 x의 결과일 때의 T이다 즉 치역이 공역과 같다 R2가 R3 안의 평면 하나로만 보내진다면 공역 전체를 채우지 못하므로 전사가 아니다 공역을 전부 채우려면 정의역의 차원이 공역의 차원 이상이어야 한다 따라서 R2 → R3 변환은 어떤 행렬을 쓰더라도 전사가 될 수 없다 반대로 R3 → R2는 일반적으로 전사가 될 수 있지만 항상 그런 것은 아니다 열벡터가 서로 겹쳐서 R2를 다 펼치지 못하면 전사가 아니기 때문이다 1-1) Onto(전사)의 판정 T(x) = Ax는 A의 열벡터를 x의 성분만큼 선형결합한 것이므로 출력은 항상 열벡터들의 선형결합이다 따라서 공역의 모든 b를 열벡터의 선형결합으로 만들 수 있으면 T는 전사이고 그 역 또한 성립한다 Ax = b의 해가 항상 존재한다는 뜻이다. 이를 열벡터가 Rm을 span한다고도 표현한다 예를 들어 [[2, 0], [−1, 1], [1, 2]]는 열이 2개뿐이다 벡터 2개의 선형결합으로는 R3 전체를 만들 수 없으므로 전사가 아니다 또한 A = [[1, 4, 5], [2, 3, 6]]는 첫째, 둘째 열 (1, 2)와 (4, 3)이 선형독립이다 R2 안에서 독립인 벡터 2개의 선형결합으로 R2 전체를 만들 수 있으므로 전사이다 2.One-to-One 공역의 각 벡터 b가 많아야 하나의 입력 x의 결과일 때 T는 One-to-One이다 치역의 각 벡터를 가리키는 입력이 하나뿐이고 서로 다른 입력은 서로 다른 출력을 만든다. 여러 입력이 같은 점으로 모여버리면 일대일이 아니다 2-1)One-to-One의 판정 A의 열벡터가 선형독립이면 T는 One-to-One이고 그 역 또한 성립한다 열벡터가 선형독립이면 Ax = 0의 해가 x = 0뿐이라서 서로 다른 입력이 같은 출력을 만들 수 없기 때문이다 R2 안의 벡터 3개는 항상 선형종속이므로 정의역의 차원이 공역보다 크면(n > m) One-to-One이 될 수 없다 예를 들어 A = [[2, 0], [−1, 1], [1, 2]]의 두 열 (2, −1, 1)과 (0, 1, 2)는 서로의 상수배가 아니므로 선형독립이다. 따라서 One-to-One이다 하지만 A = [[1, 4, 5], [2, 3, 6]]는 R2 안의 열벡터가 3개라서 선형종속이다. 실제로 셋째 열은 첫째 열의 9/5배와 둘째 열의 4/5배를 더한 것과 같다 따라서 One-to-One이 아니다 3.두 성질의 관계 One-to-One이라고 해서 전사일 필요는 없다 치역이 공역 안의 평면 하나여도, 각 출력을 만드는 입력이 하나뿐이면 일대일이다 반대로 전사라고 해서 일대일인 것도 아니다 두 조건은 서로를 보장하지 않으므로 따로 확인해야 한다 또한 One-to-One이면서 전사가 되려면 입력과 출력의 차원이 같아야 한다 4. 신경망과의 관계 신경망의 fully-connected 층은 입력 벡터에 T(x) = Ax를 적용하는 선형변환이다 예를 들어 (몸무게, 키, 흡연 여부)인 R3를 (과체중 여부, 키 큰 흡연자 여부)인 R2로 바꾸는 층을 생각할 수 있다 4-1) One-to-One 관점: 3차원에서 2차원으로 줄어들므로 One-to-One일 수 없다 서로 다른 사람이 같은 값으로 묶이면서 원래 정보가 일부 사라진다 4-2) 전사 관점: 만들어질 수 없는 (과체중, 키 큰 흡연자) 조합이 없는지를 묻는 것이다 열벡터의 선형결합으로 R2 전체를 만들 수 있는지로 판단한다

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